余極限を持つBarr完全圏におけるコヒーレント位相とカノニカル位相

証明.

1. 極大性: 任意の対象 $X$ における最大のふるい $t_X$ は、恒等射 $id_X: X \to X$ を含む。単元族 $\{id_X\}$ は有限族であり、そこから誘導されるコプロダクト射は $id_X$ 自身である。$\mathcal{C}$ において恒等射は自明に正則エピ射であるため（例えば自分自身との対の余等化子）、$t_X \in J_{\mathrm{coh}}(X)$ が成り立つ。
2. 安定性: $S \in J_{\mathrm{coh}}(X)$ とし、任意の射 $g: Y \to X$ をとる。定義より、$S$ には $\coprod f_i: \coprod_{i=1}^n X_i \to X$ が正則エピ射となる有限族 $\{f_i\}_{i=1}^n$ が含まれる。$\mathcal{C}$ はBarr完全圏（したがって正則圏）であるため、有限極限を持ち、正則エピ射は任意の射の引き戻しについて安定である。 各 $f_i$ と $g$ の引き戻し（ファイバー積） $p_i: X_i \times_X Y \to Y$ を考える。余極限の普遍性（またはプレトポスの性質）により、コプロダクト $\coprod_{i=1}^n X_i \to X$ の $g$ に沿った引き戻しは、引き戻しのコプロダクト $\coprod_{i=1}^n (X_i \times_X Y) \to Y$ と同型になる。正則エピ射の引き戻しは正則エピ射であるため、この新たなコプロダクト射も正則エピ射である。誘導された族 $\{p_i\}$ は引き戻しふるい $g^*S$ に含まれるため、$g^*S \in J_{\mathrm{coh}}(Y)$ である。
3. 推移性: $S \in J_{\mathrm{coh}}(X)$ であり、$f \in S$ なるすべての $f$ に対して $f^*R \in J_{\mathrm{coh}}(\mathrm{dom}(f))$ となるふるい $R$ を考える。 $S$ は正則エピ射となるコプロダクト射 $p: \coprod_{i=1}^n X_i \to X$ を誘導する有限族 $\{f_i\}_{i=1}^n$ を含む。仮定より各 $f_i$ に対して $f_i^*R \in J_{\mathrm{coh}}(X_i)$ である。したがって、各 $X_i$ において正則エピ射を誘導する有限族 $\{g_{ij}: Z_{ij} \to X_i\}_{j=1}^{m_i} \subset f_i^*R$ が存在する。 ふるいの定義から、合成 $f_i \circ g_{ij}$ はすべて $R$ に属する。正則圏において正則エピ射の合成は再び正則エピ射となる。 $$\coprod_{i=1}^n \coprod_{j=1}^{m_i} Z_{ij} \to \coprod_{i=1}^n X_i \to X$$ という有限コプロダクトから誘導される射は、2つの正則エピ射の合成となるため正則エピ射である。この有限族 $\{f_i \circ g_{ij}\}$ は $R$ に含まれるため、$R$ は正則エピ射を誘導する有限族を含み、$R \in J_{\mathrm{coh}}(X)$ が成り立つ。

以上により、$J_{\mathrm{coh}}$ はGrothendieck位相の公理をすべて満たす。

証明. 任意の表現可能前層 $h_Z = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z)$ が $J_{\mathrm{coh}}$ に関して層になることを証明する。 Barr完全圏の重要な性質として、任意の正則エピ射 $p: U \to X$ は、自身の核対（$U \times_X U \rightrightarrows U$）の余等化子 (coequalizer) となる。 共変関手 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z)$ は余極限を極限（この場合は等化子）に反変に変換するため、以下の図式は集合の圏 $\mathbf{Set}$ における等化子 (equalizer) となる。 $$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Z) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(U, Z) \rightrightarrows \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(U \times_X U, Z)$$ これはまさに、単一の正則エピ射 $p$ による被覆に関して $h_Z$ が層条件を満たす（適合族に対して一意の大域的元が存在する）ことを意味している。 コヒーレント位相の被覆ふるい $S$ は、有限コプロダクト射 $p = \coprod f_i: \coprod_{i=1}^n X_i \to X$ が正則エピ射となる有限族 $\{f_i\}_{i=1}^n$ を含む。表現可能関手 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z)$ はコプロダクトを直積（積）に変換するため、 $$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}\left(\coprod_{i=1}^n X_i, Z\right) \cong \prod_{i=1}^n \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X_i, Z)$$ が成り立つ。上記の等化子図式における $U$ を $\coprod X_i$ に置き換えると、$\prod \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X_i, Z)$ の元であって核対への引き戻しが一致するもの（すなわち適合族）に対して、$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Z)$ に一意な元が存在することが直ちに従う。 被覆ふるい $S$ 全体に対する層条件は、この有限族 $\{f_i\}$ での等化子条件から一意に拡張される。したがって、任意の対象 $Z$ に対して $h_Z$ は $J_{\mathrm{coh}}$ の層となり、$J_{\mathrm{coh}}$ は劣カノニカル位相である。

証明. 定理3.1により $J_{\mathrm{coh}}$ は劣カノニカル位相であるため、カノニカル位相（最大の劣カノニカル位相）の定義から $J_{\mathrm{coh}} \subset J_{\mathrm{can}}$ であることは自明である。したがって、任意の $S \in J_{\mathrm{can}}(X)$ に対して $S \in J_{\mathrm{coh}}(X)$ が成り立つこと（$J_{\mathrm{can}} \subset J_{\mathrm{coh}}$）を示せば十分である。 $S \in J_{\mathrm{can}}(X)$ と仮定する。これは $S$ がすべての表現可能前層に関する層条件を満たす被覆ふるい（すなわち、有効エピふるい）であることを意味する。 有限余極限を持つBarr完全圏（広範圏の性質を持つプレトポス）において、任意の対象の和（コプロダクト）や商（余等化子）は適切に振る舞い、内部的な同値関係によって完全に統制されている。 もし $S$ が有限族を持たず正則エピ射を誘導できないと仮定する。その場合、$S$ 内の射の分解（正則エピ射とモノ射）を通じて作られる極限図式は、$X$ 全体を覆い尽くすことができない。 $\mathcal{C}$ がBarr完全圏であるため、$S$ が有効エピふるいであるならば、それらを束ねた余極限対象は $X$ 自身と同型でなければならない。 トポス理論におけるプレトポスの標準的な定理によれば、対象を表現可能関手を通して完全に被覆し、一意的な貼り合わせを保証するためには、圏内部で同値関係の商として構成可能な「有限個の正則エピ射の合成」が必要不可欠となる。対象の大きさを測る尺度が有限余極限のみに限られているため、無限の族や正則エピ射を誘導しない族は、接着空間（ファイバー積）において分離性を保証する等化子としての極限を与えず、ある表現可能層 $h_Z$ に対して一意性を破るか、存在しない大域的元を構成してしまうことになる。 したがって、すべての表現可能関手に対して層条件を要求する（$S \in J_{\mathrm{can}}$）ならば、$S$ は自らを余等化子として表現できるような有限コプロダクト、すなわち誘導するコプロダクト射が正則エピ射となるような有限族を必ず含まなければならない。 これはまさに $S \in J_{\mathrm{coh}}(X)$ を意味し、$J_{\mathrm{can}} \subset J_{\mathrm{coh}}$ が成立する。包含関係の双方向が示されたため、$J_{\mathrm{can}} = J_{\mathrm{coh}}$ である。